Sarjamme “Vanhat opinnot” viimeinen osa: analyysin sijasta vähän aksiomaattista lineaarialgebraa ja rutiinilaskuakin siinä sivussa. Kevään 2010 tyylikkäin kokonaisuus on Lineaarialgebra.

Vaikka yliopistossamme on tehty vastikään muutoksia, ja jaettu tämä kokonaisuus kahdeksi pienemmäksi kurssiksi (yhteensä 9 opintopistettä), on homma kuitenkin käytännössä sama kuin jos lukisi yhtä isoa kurssia. Se on vain fyysikoiden onni ja helpotus, että he pääsevät pälkähästä pelkän a-osan rutiinilaskennon turvin. Hyvinkin korkealle lentävä B-osa on kyllä sitäkin siloisempaa nautintoa kiireestä kantapäähän.

Alkukevään A-osa

Ensin on käytävä tietenkin vähän perusteita käsiteltävään aiheeseen, joka on lineaariset rakenteet ja lineaariavaruus. Sisällystä voisi summata näin:

• Yhtälöryhmät
• Matriisit
• Käänteismatriisi
• Matriisin determinantti
• Lineaaristen rakenteiden geometrinen tulkinta
• Lineaariavaruus
• Aliavaruus

Yhtälöryhmiin on olemassa suorastaan järkyttävän helppoja menetelmiä. Lukiossa jo kolmen yhtälön ryhmä on aikamoista myrkkyä, koska mitään systematiikkaa ei suoranaisesti opeteta, tai vaadita. Kuitenkin hommista tulee helppoa, kun käyttöön otetaan Gauss-Jordanin reduktiomenetelmä, joka tarjoaa helposti rutinoituvan menetelmän ratkaista lineaarikombinaatioita (so. skalaarin ja vektorin tulojen summia) ja yhtälöitä. Myös tilanteet, joissa ratkaisuja on äärettömät määrät, on helppo tällä menetelmällä esittää. Menetelmänä se on simppeli, joskin varsin virhealtista. Mikäpä ei olisi, kun pusketaan numeroita toistensa perään. Vähemmästäkin silmät hyppivät riveillä.

Matriisit olivat minulle tuore tuttavuus, mutta koska ne ovat samanlaisia järjestettyjä “pareja” (englannin kielen termi tuple ja erityisesti termi n-tuple kaipaisi hyvää suomennosta), ei niissä sinänsä ongelmaa ole ymmärtää. Matriisien kertolaskut ja laskusäännöt tietysti ottivat oman aikansa, mutta hyvin pysyin mukana. Käänteismatriisiakin voi laskea aika hiton monella eri tavalla, näissä hommissa pitää olla ilmeisesti paljon valinnanvaraa. Determinantti oli myös osapuilleen uusi asia minulle; lukiossa ei pahemmin seminaareja aiheesta pidetty. Determinantin kantava ajatus oli kuitenkin sangen helppo omaksua, miksei olisi? Determinantin myötä tulevat laskusäännöt tuovat paljon mukavaa matriisilaskentaan. Erityisesti matriisin säännöllisyyden tarkastamisessa determinanttiehto on ajansäästäjä.

Tietysti kun puhutaan vektoreista niin otetaan esille geometriset tulkinnat. Tasot, suorat, pisteet. Lineaarisuudessa on kovaa valuuttaa se seikka, että nolla-alkion on aina kuvauduttava nolla-alkioksi. Tämä vaati hieman totuttelua lukiosta, missä lineaarinen tarkoitti yksinkertaisesti korkeintaan ensimmäistä astetta olevaa polynomifunktiota. Viimein päästään veret seisauttavaan asiaan: lineaariavaruuksiin. Kyseessä on algebrallinen (kaiketi se onkin) rakenne, jossa vektorijoukkoon liitetään kaksi laskutoimitusta: ulkoinen (skaalaus) ja sisäinen toimitus. Skaalauslukujoukon tulee täyttää kunta-aksioomat, joten käsittelemme lähinnä reaalikertoimisia joukkoja. Näin sitten lopulta meillä on lineaariavaruus näin esimerkin omaisesti. Samaistaminen lukiossa opittuihin vektoreihin on petollisen helppoa: esimerkiksi tason vektorit muodostavat reaalilukujen kanssa lineaariavaruuden, jossa on määritelty skaalausfunktio kuten ajatella saattaa. Lisäksi on kahden vektorin yhteenlasku, sisäinen laskutoimitus. Kaikki käy järkeen!

Termit sisäinen ja ulkoinen laskutoimitus voivat ehkä olla epästandardit, joten selvennetään: sisäinen laskutoimitus on funktio , eli kuten nähdä saattaa, kaksi vektoria laskettaessa “yhteen” tässä saadaan aina saman joukon vektori, kaikilla vektoreilla ! Ulkoinen laskutoimitus liittyy siis skaalaukseen, ja siellä se kerroinkunta on todellakin ulkoinen, erillinen joukko. Saadaan joukoiksi , eli tulokset toki pysyvät edelleen sallituissa rajoissa. Koska kerroinkunnan tulee täyttää tiettyjä ominaisuuksia, päästään hyvin pian sellaiseen asetelmaan, että lineaariavaruudesssa tulee olla joko äärettömästi alkioita tai sitten ei yhtään/tasan yksi alkio, nimittäin nolla-alkio.

Vielä A-osaan kuuluva aliavaruuden käsite tarkoittaa yksinkertaisesti jonkun lineaariavaruuden osajoukkoa, jonka tulee täyttää kuitenkin itsessään kaikki annetut määritelmät, joten aliavaruuksia ei voi muodostaa aivan kuten mieli tekisi. Kolmiulotteisessa vektoriavaruudessa aitoja aliavaruuksia ovat esimerkiksi kaikki eri tasot ja (avaruus)suorat. Tasossa aitoja aliavaruuksia ovat vain erilaiset suorat ja nolla-alkion muodostama aliavaruus. Asiasta tuntuisi oudosti sopivalta tarinoida enemmänkin, mutta eiköhän se olisi viisainta lukea alan materiaalista ja oppikirjallisuudesta vähän eksaktimpaa tekstiä.

Tähän alkuosaan kuuluvaa matriisirutiinia kuului sen verran paljon, että ei tullut ikävä siirtyä noihin lineaariavaruuksiin vaihtelun vuoksi.

B-osa

Ja ahh, jälkipuoliskolla syvennetään, kuten odottaa saattaa, lineaariavaruuksien käsitteitä entisestään. Käydään paljon teoriaa läpi siitä, kuinka lineaariavaruus voidaan virittää ja kuinka monella vektorilla. Lineaarinen riippumattomuus, sen sellaisia käsitteitä. Käydään erityisesti läpi uusia matriiseihin liittyviä ominaisuuksia, kuten matriisien rivi- ja sarakeavaruudet, nolla-avaruus ja mitä kaikkea.

Tässä on paljon paatosta. Ei käy kieltäminen. Lyhyelle ajanjaksolle on sullottu paljon kaikenlaista kivaa sälää. Erityisesti nautiskelen lineaariavaruuksien toisesta näkökannasta: siitä, että funktioiden joukko muodostaa lineaariavaruuden, ja siellä voidaan kokeilla sitten derivointia ja integrointia lineaarikuvauksina.

Niin, muuta kurssilla käytyä ovat lineaarikuvaukset, siis funktiot kahden lineaariavaruuden välillä. Siitä saa irti jos jonkinmoista. Sitten erityisen hieno asia niihin liittyen on mahdollisuus kuvata yksikäsitteisellä matriisilla lineaarikuvauksen toimintaa, jolloin se funktio onkin yllättäen aina muotoa . Kantaan liittyviä lauseita vilisee kuin hyttysiä sateella. Sisätuloavaruus, etenkin yhdistettynä funktioiden käsitteeseen, on maukas asia. Sehän vastaa lukiossa opittua pistetuloa, mutta on vähän jämptimpi käsite. Sisätulo-operaattorin avulla lasketaankin yllättäen esimerkiksi sinifunktion pituus. Normi ja metriikka käydään läpi; niistä on iloa abstrakteissa rakenteissa kyllä. Ja ne ovat kovin miellyttäviä termejä itsessäänkin: “olkoon avaruuden metriikka”… Se vain kuulostaa jo hyvältä. Puhumattakaan hienoista sivistyssanoista kuin ortogonaaliset vektorijoukot tai peräti ortonormaalit kannat. Puhdasta kultaa, sen minä sanon.

Nyt ollaankin itse asiassa nykyhetkessä. Seuraavan viikon demoissa on luvassa pari tehtävää ortonormittamisesta ja ortogonaaliseksi muuntamisesta. Peräti ominaisvektoreita ja -arvoja pitäisi laskeskella! Ajattelin suosiolla jättää ne tehtävät keskiviikolle, jotta tiistain luennolla saa pohjaa siihen. Luin toki kurssimateriaalista jo pohjaa noihin ihmeellisiin eigenarvoihin. On tämä kaikki mukavaa, palataan asiaan ehkä sitten vähemmän historiallisissa merkeissä!