Koska ideani pälkähti mieleeni kahdeksan kuukautta myöhässä, voisimme kertailla vähän lukuvuoden 2009-2010 matematiikan opintojani; nyt vuodattelua analyyttisistä matematiikan opinnoistani keväältä 2010!

Kertauksen vuoksi, tässä käytyä opintosuoritusta keväälle:

• Matematiikan peruskurssi (pari viikkoa tammikuussa 2010)
• Analyysi I (koko kevät 2010)
• Lineaarialgebra a-osa (alkukevät 2010)
• Lineaarialgebra b-osa (loppukevät 2010)

Matematiikan peruskurssi

Epähuomiossa luin opinto-ohjelmaa väärin, ja sen johdosta päädyin lopulta tenttimään ilman sen kummempaa kurssimista tämän kurssin, joka on vielä tällä hetkellä edellytettävä kurssi monella tapaa. Kävin hommaamassa luentomateriaalin, ja sitä lueskelin pintapuolisesti ensin joululoman loppupuolella, ja sitten koitin vähän tehdä tehtäviäkin. Sanoisinko, että opiskelin tätä kurssia sitten lopulta vajaat pari viikkoa. Tentti meni iloisesti, arvosanaksi tuli neljä. Vaikka moni kurssin asioista jatkaa tiiviisti lukiosta, kaikki asia on kuitenkin periaatteessa uutta. Vieläpä kuitenkin siten, että jos lukiossa on ollut sopivasti koulukohtaisia syventäviä matematiikoita (esimerkiksi monella lukiolla tarjottava Analyysi), on tästä kurssista päässyt varmasti helpolla. Käsiteltyjä aiheita:

• Lukiotyylinen raja-arvo ja jatkuvuus
• Derivointi lukiotyyliin
• Integrointi lukiotyyliin
• Differentiaaliyhtälöt
• Kompleksiluvut, napakoordinaatisto
• Avaruusgeometriaa vektorein
• Kahden muuttujan jatkuvuus ja derivointi

Toisaalta todeten, että vaikka tentissä asiat menivät todella paljon paremmin kuin lukuvaiheessa, niin silti differentiaaliyhtälöitä en osaa lainkaan. Jos vain pääsen itsestäni niskan päälle, luen niitä kesällä, koska odotettavasti ensi syksynä alkaa Differentiaaliyhtälöt -kurssi, jolla tuskin uhrataan paljoa aikaa alkeellisten yhtälöratkaisujen opettamiseen. Muutama hieno analyyttinen tulos siellä esiintyi, kuten osittaisintegrointi, lineaarinen aproksimointi ja toki monen muuttujan jatkuvuudet, mutta en voi hyvällä tahdollakaan väittää, että jos juuri tällä kurssilla olisin yliopistomatematiikan aloittanut, olisin ollut yhtä kiinnostunut jatkamisesta.

Tämä onkin yhtäkkiä liian konkreettista matematiikkaa minulle. Funktioita ajateltiin oletusarvoisasti jatkuvina ja derivoituvina sääntöinä, ei diskreetteinä (tai vähemmän diskreetteinä) joukkoina, joilla on ensisijainen kuvauksen tehtävä. Diskreetit funktiot ovat tietysti vailla kivoja topologisia ominaisuuksia, mutta jatkuvat funktiot ovat yksinkertaisesti tylsempiä kuin rikkaammat ja monimuotoisemmat, yleistetyt kaverinsa. Onhan se tiedossa, että .

Eli tämä perusopintojakso ei ollut aivan mieleinen, ja toisaalta luentojen puute haittasi oppimistani monelta osa-alueelta. Tentissä kysyttiin kompleksiluvuista, joihin pystyi vastaamaan täydellisesti syksyisen Johdantokurssin opeilla. Ja onnistuipa osittaisintegrointikin, kun siinä ei mitään rakettifysiikkaa ole taustalla.

Analyysi I, tai Reaalianalyysi

Analyysi I (tätä Analyysi-sarjaa yliopistolla on tarjota ykkösestä neloseen, kuinka mielikuvituksetonta ja tarpeetonta) olisi paremmin ilmaistuna “yhden reaalimuuttujan reaaliarvoisten funktioiden analyysi” tai “reaalianalyysi”, kuten käyttämämme oppikirja oli nimetty. Askel kohti tujakkaa matematiikkaa, Analyysilla käydään hyvinkin keskeisiä tuloksia kaikille reaalifunktioille:

• Reaalilukujen kunta-aksioomat
• Syvennetään joukko-oppia reaalilukujen osajoukoille
• Epsilon-delta -raja-arvolause
• Jatkuvuus
• Derivoituvuus
• L’Hôpitalin lause
• Integroituvuus
• Integraalien laskusääntöjä
• Lukujonojen ominaisuuksia ja raja-arvot

Aluksi lähdettiin hyvin pehmeällä kyydillä etenemään. Aksiomaattinen lähestymistapa toi lämpimiä muistoja syksyn kurssilta, mutta sitä iloa ei kestänyt kovin pitkälle. Joukko-opin syventäminen avoimille ja suljetuille joukoille, sulkeumille, peitteille oli tietysti mukavaa. Vähän puntti tutisi tuon pahamaineisen epsilon-delta -todistuksen kanssa, mutta eipä minulla ollut varsinaisesti ongelmia itse periaatteen ymmärtämisen suhteen. Sellainen lausekkeiden pyörittely on vain minulla vähän työläänpuoleista. Kolmioepäyhtälö on rajussa käytössä tämän kanssa. Suurin ongelma minulle -menetelmän käytössä on se, että en ole aivan vakuuttunut saatujen tulosten lainvoimaisuudesta. Ensin voi raja-arvon laskea “lukiotyyliin” sieventelemällä ja sitten saatua arvoa käytetään varsinaisessa todistuksessa. Mutta vaikka todistusmenetelmässä olisi joku aukko, niin silti se hyväksi todettujen laskusääntöjen puitteissa aina lopputuloksena on, että raja-arvo on sitä ja tätä. . Ehkä se on todistuksien suhteen esiintyvää kypsymättömyyttä, mutta menetelmänä se tuntuu arveluttavalta.

Hyvä puoli on tietenkin siinä, että epsilon-delta -todistusta tarvitaan oikeastaan vain muiden lauseiden todistamiseen, erityisesti raja-arvon laskusääntöjen ja alkeisfunktioiden todistamiseen. Kun on osoitettu, että , pääsee rutkasti helpommalla. Kun raja-arvo on hanskassa, siitä seuraa sitten jatkuvuus, jonka myötä saadaan paljon mielenkiintoisia tuloksia. L’Hôspitalin lause on sen verran ilmeinen, että sitä voisi lukiossakin jo opettaa.

Integraaleihin pääsee hyvin helposti sisälle Riemannin intuitiivisen rakennelman ansiosta. Jo lukion numeeristen menetelmien kurssilla tuli pohdittua, että jos likiarvoista integraalia ruvetaan tarkentamaan kasvattamalla osavälien lukumäärää, päästään tarkkaan lopputulokseen, kun osavälien lukumäärä lähestyy ääretöntä. Näinhän se meneekin oikeassa teoriassa, ainakin melkein. Ainut poikkeus on se, että osavälien lukumäärän kasvamisen lisäksi myös osavälien normin tulee lähestyä nollaa. Riemannin integraalihan ei siis edellytä tasaista jakoa, mutta asia hoidetaan mutkittelemalla. Koska nyt integraaleja voidaan ajatella summina, on niiden ominaisuuksien todistaminen varsin helppoa! Esimerkiksi on hyvinkin helppo perustella, kun ajatellaan integraalia summana, jolloin reaalilukujen osittelulait astuvat voimaan: siis periaatteessa ideasta (summan termin vakiokerroin summan vakiokertoimeksi) voidaan tuokin integraalilause perustella. Kuitenkaan antamani summaesimerkki ei liity Riemannin summiin, :n tilalle pitäisi asettaa jotain sofistikoituneempaa.

Lukujonot kurssin päätteheksi ovat helppoja ja hauskoja, koska käytännössä palaillaan käyttämään tavallista raja-arvolausetta (tosin ilman deltaa; diskreettejä, epäjatkuvia lukujonoja arvioidaan vain äärettömyyteen). Kurssi on varsin mukava ja kattava paukku akateemisen matematiikan iloihin myös täällä “konkretian” puolella. Kurssimateriaalina käytimme William Trenchin ilmaisjakelussa olevaa kirjaa, Real Analysis, 200 ensimmäistä sivua käytiin jotakuinkin. Kirjasta en sanoisi, että se olisi mitenkään selkeälukuinen, mutta kyllä siitä luentojen kanssa saa korvaamattoman apurin. Itseopiskelutarkoituksissa tuon käyttö yksinään ei luultavasti minulta onnistuisi. Nyt on enää paha arvioida.

Tämän kurssin ensimmäinen välitentti meni tyydyttävästi, 20/25 pistettä. Jälkimmäinen tentti odottaa nyt seuraavana maanantaina! Olemme tältä osin tulleet nykyhetkeen asti. Mutta jaha, meillä on vielä kaksi kurssia käsittelemättä, ja blogipostaus uhkaa venyä ja paukkua. Luulisin, että nyt on viisainta vielä jakaa historiikki kolmanneksi viestiksi.