Koska ideani pälkähti mieleeni kahdeksan kuukautta myöhässä, voisimme kertailla vähän lukuvuoden 2009-2010 matematiikan opintojani; nyt vuodattelua akateemisista matematiikan opinnoistani.
Opiskeluni matematiikan saralla alkoi heti muidenkin opintojen ohessa, olihan minulla jo tietojenkäsittelytieteiden perusopinnot kasassa. Aloitin siis syksyllä matematiikan perusteista ja TKT:n aineopinnoista:
- Matematiikan johdantokurssi (koko syksy 2009)
- Matematiikan peruskurssi (pari viikkoa tammikuussa 2010)
- Analyysi I (koko kevät 2010)
- Lineaarialgebra a-osa (alkukevät 2010)
- Lineaarialgebra b-osa (loppukevät 2010)
Kurssien nimet ovat kuten Joensuun (ja keväästä alkaen Itä-Suomen) yliopistossa ne on nimetty. Hieman kuvaavampiakin nimiä noille voisi kehitellä, mutta olkoot nyt noin. Eli kevyt aloitus, tiukempi kevät.
Syksy 2009
Matematiikan johdantokurssi on juuri sellainen, miltä se kuulostaa. No, kurssin sisältöä ei kyllä vielä voi arvata pelkän ympäripyöreän nimen perusteella, etenkin kun toinen melkein samanlainen nimi on myös Peruskurssilla, jonka sisältö on vallan toinen. Lyhyesti ja ytimekkäästi seuraavia asioita käytiin läpi:
- Logiikan perusteet
- Joukko-opin perusteet
- Relaatiot
- Funktiot yleisessä mielessä
- Reaalifunktioita (rationaali- ja transkendenttifunktiot)
- Todistusmenetelmiä
- Lukujoukkojen mahtavuuksia
- Lukujoukot
- Kahden muuttujan funktiot
Lukion matematiikan perusteella oli kyllä yllättävän helppoakin oppia näistä asioista, joissa poikettiin kovastikin jo totutuista poluista. Logiikkaan minulla oli jo kirvakka johdatus TKT-opintoihin kuuluneella kurssilla, ja nyt vähän sama paha maku jatkui. Kuitenkin luentojen ansiosta koko keskeinen idea, hahmontunnistus, pelasi. Logiikasta sai viimein tolkkua. Kurssilla ei käyty yhtään jo lukiossa opittuja menetelmiä, mikä on vain hyvä asia. Derivaatat, integraalit, vektorit ja geometria jätettiin pois: tällä kurssilla on tarkoitus mennä eteenpäin! Erinomaista, sanon minä. Toistaiseksi juuri tämä kurssi on aukonut silmiäni eniten, ja koko matematiikan hahmottaminen kokonaisuutena on helpottunut kummasti opittujen keinojen avulla.
Havaitsin erityisesti pitäväni joukko-oppiin liittyvien kysymyksien pohtimisesta, ja kuinka relaatiot (ja sitä myöten funktiotkin) asettuvat kiltisti joukko-opin alaiseksi. Joukko-oppia itseään voidaan johtaa logiikasta niin paljon, että se taitaa olla jo tulkintakysymys, ovatko matematiikan perustavat teoriat sitten logiikkaa vai joukko-oppia. Vaikka me sanommekin, että 
- logiikka
- joukko-oppi
- kategoriateoria.
Näistä viimeinen kai tarjoaa eväitä algebran käsittelemiseen, vaikka algebrahan itsessään käsittelee joukkoja, joihin on liitetty kuvauksia. Joukko-oppia kaikki tyyni. Kategoriateoriaa olen aikeissa vasta opiskella.
Joukko-opin lisäksi kaikki sen välittömät johdannaiset, kuten relaatiot, tuntuvat mukavalta käteen. Lukiossa opittua mantraa “funktio on sääntö joukolta A joukolle B” ei minun ainakaan tarvinnut pitkään pyyhkiä mielestäni, sillä kaikki oli mielestäni perin luontevaa olettaa erikseenmäärätyiksi järjestettyjen parien joukoiksi, ja jos joukolle löytyykin jokin sääntö, parempi vain. Mutta ei edellytys! Ehkä näin hienolla abstraktiokyvyllä pääsenkin pitkälle matemaattisella urallani. On metka ajatella sitä, kuinka reaalifunktiot voidaan todellakin ilmaista yksittäisenä joukkona, vaikkakin siinä olisi ylinumeroituva määrä alkioita. Ajatus on tärkein.
Ja ylinumeroituvuudesta tulikin mieleen, että totta vieköön luin kesälomalla paljon populaarimatematiikan ja -fysiikan teoksia. Näissä esiteltiin kansantajuisesti (ainakin minä lukiolaisena sain varsin hyvin selvää tekstistä) juuri noita numeroituvuuteen ja ylinumeroituvuuteen liittyviä ongelmia. Sellainen jos mikä on omiaan nostattamaan mielenkiintoa abstraktimpaa matematiikkaa kohtaan.
Tällä kurssilla käytiin sitten myös läpi erilaiset alkeisfunktiot reaalisten funktioiden maailmassa. En voi sanoa, että hyperboliset sinit ja areahyperboliset kotangentit olisivat suosikkikamaani, mutta hyvähän niistäkin on jotain tietää.
Talven jo tullessa käytiin kurssilla sitten todistusmenetelmiä. Induktiotodistus oli edelleen sieltä TKT-opinnoiltani tuttu kammotus. Todistusmenetelmä oli vielä hatara tuolloin lopputentin paikkeilla. Vasta nyt keväällä ajatus viimein sai minusta otteen, ja pääsin jyvälle induktiotodistuksen taustalla piilevästä rakenteesta. Parempi myöhään… Kurssia kruunasi sitten se lukujoukkojen mahtavuuksiin liittyvä aineisto ja lukujoukkojen perinpohjainen (tai ainakin hyvin pintaa raapaiseva) läpikäyminen. Luonnolliset luvut aloitettiin ei kenenkään muun kuin Peanon aksioomien avulla. Kokonaisluvut rakenneltiin luonnollisten lukujen päälle ekvivalenssirelaatioiden avulla. Rationaaliluvut sinänsä helposti saadaan kokonais- ja luonnollisten lukujen päälle. Reaaliluvut jätettiin vähän vähemmälle, mutta idea tuli selväksi. Kompleksiluvut rakenneltiin taas luokiksi reaalilukujen päälle, vaikka tähän onkin monta erilaista keinoa. Tuolla toisella kurssilla taisivat käyttää lukiomaisempaa vektorikeskeistä lähestymistapaa analyyttisin muodoin. Oikein mukavaa settiä.
Viimein tutkimme joulun tienoilla kahden muuttujan funktioita, erityisesti laskutoimituksia. Ajatus on kiehtova, vaikka nyt tässä vaiheessa niistä on tullut jo vähän yliannostustakin, kun lineaarialgebrassa (yleisemminkin algebrassa) niiden kanssa pelataan ihan alvariinsa.
Kokonaisuudessaan juuri tämä kurssi olisi kenelle tahansa lukion pitkän matematiikan suosiolla suorittaneelle hyväksi. Tässä ei päästä oikeastaan näkemään mitään, mihin asti se kunnollinen matematiikka oikein yltääkään, mutta varsin hyvin päästään etenemään seikkailussa joka ilmansuuntaan. Todella mahtavaa.
Pahkurainen, tässähän innostuu kirjailemaan ihan siihen malliin, että lukuvuosi nähtävästi tulee jakaa kahteen, ellei useampaankin osaan.
